Dobble

Parlons un peu du Dobble. Un jeu de société qui se range dans la catégorie des jeux de rapidité.

Le "dobble" et sa variante commerciale le "dobble kids" est un jeu très simple composé de cartes.
Le dobble classique comporte 55 cartes et sur chacune de ces cartes, il y a exactement 8 symboles.
La propriété essentielle sur laquelle est fondé le jeu, est qu'il y a toujours un et un seul symbole en commun entre deux cartes...


Le dobble kids vérifie la même propriété, mais il ne comporte que 30 cartes et il n'y a que 6 symboles sur chaque cartes.

Comment ce jeu est construit ? Combien y'a t-il de symbole ? Comment peut-on faire pour construire des dobble avec encore plus de symboles par carte ?

Nous allons voir cela tout de suite, mais avant de passer à la théorie, il faut savoir que ceux qui ont conçu le dobble l'ont fait sans l' optimiser, à croire qu'ils ont fait ça en essayant les combinaisons au hasard.

Il y a en effet 30 cartes au "dobble kids" et 55 au "dobble classique" alors qu'il devrait y en avoir respectivement 31 et 57 sans même que l'on ait besoin de rajouter de symboles...
Le plus étrange c'est que ces nombres 37 et 57 correspondent aussi au nombre symbole apparaissant dans le jeu ! L'explication de ce phénomène est expliqué dans le paragraphe ci-dessous.


Construisons notre Dobble généralisé !

Considérons l'ensemble (Fq)², avec q une puissance d'un nombre premier. (Pour dobble kids : q = 5, pour dobble classique q = 7)
A chaque point de cet ensemble va correspondre une carte et à chaque droite du plan va correspondre un symbole. Il y a q+1 droites passant par un point donné, donc q+1 symboles par carte. De plus par deux points passe une unique droite. Donc deux cartes ont toujours exactement un unique symbole en commun.
On peut ensuite rajouter à notre construction un point à l'infini dans chacune des q+1 directions. Et on construit une "droite" qui passe par ces q+1 points à l'infini. Il est aisé de voir que toutes les propriétés précédentes sont conservés. Au total on obtient q² + q + 1 points et autant de droites.


Ou plutôt construisons le dobble kids...

 Nous allons ici construire d'une manière assez surprenante une version simplifié du Dobble car ne contenant que 25 cartes. Pour cela il nous faut représenter chacune de ces cartes par des points et les placer sous la forme d'un carré ayant pour côté 5.

Dans cette figure on peut construire des objets que l'on appelle "droites", mais qui peuvent être en plusieurs "morceaux". Ces droites au nombre de 30 passent toutes par 5 points (un de chaque colonne/ligne). Ces 30 droites sont représentées ci-contre :

A chacune de ces droites va correspondre un symbole et donc si un point est sur la droite, on dira qu'il y a le symbole correspondant sur cette carte.

Grâce au schéma ci-dessus, il est clair que sur chaque carte il y a exactement 6 symboles !

Mais le fait le plus intéressant n'est pas là ! On remarque en effet que si l'on sélectionne deux points au hasard parmis les 25, alors on découvre qu'il n'y a qu'une seule droite qui passe par ces deux points. Et c'est là la propriété du Dobble : A chaque fois que l'on prend deux cartes elles ont un et un seul symbole en commun !
 
Cela nous fait donc 25 cartes. Mais je vous ai dit que l'on peut construire un "Dobble kids" à 31 cartes. Il nous manque donc encore 6 cartes pour que le jeu soit complet !

Ces 6 cartes ne sont pas représentées par des points mais par des directions... En effet lorsque l'on regarde les 6 schémas ci-dessus chacun d'eux correspond à une direction. Il y a 6 directions donc 6 cartes supplémentaires.

Et comme dans chaque direction il y a 5 droites, cela nous fait 5 symboles pour ces nouvelles cartes. Or, il nous en faut 6, comme pour les autres... La solution ? On crée un 31ième symbole qui sera le symbole commun à chacune de ces 6 nouvelles cartes. Et voilà ! Maintenant, la construction est véritablement terminée : vous voici avec un dobble de 31 cartes !