Théorème du sandwich au jambon et le théorème de Borsuk-Ulam

Le théorème du sandwich au jambon est un théorème mathématiques qui peut s'expliquer d'une façon assez amusante. Si on a un sandwich au jambon, avec du jambon et du fromage dedans il est possible de le couper en deux suivant un plan de manière à ce que chaque part ait la même quantité de pain, de jambon et de fromage.

Le théorème est en réalité bien plus général. Une autre façon d'énoncer ce théorème est la suivante :
Si on considère trois objets positionnés n'importe comment dans l'espace (de plus ces objets peuvent êtrre en plusieurs morceaux...), alors il existe un plan qui va couper chacun de ces objets en deux parties de même volume.


Et Borsuk-Ulam alors ?

Il se trouve que le théorème du sandwich au jambon est une conséquence étonnante du théorème de Borsuk-Ulam. Théorème qui énonce notamment que à tout instant sur la terre, il y a deux points se trouvant aux antipodes  (même si ces points peuvent varier) qui ont la même température et la même pression atmosphérique (en supposant que la température et la pression varient de manière continue).

Ci-dessus, on peut observer l'évolution de la température durant l'année 1987. Ce théorème étonnant est seulement un théorème d'existence. A priori ce phénomène peut ne pas être unique et il n'est donné aucune méthode pour déterminer l'emplacement de ces points.

En mathématiques on distingue clairement deux types de théorème d'existances :
Les théorèmes d'existances constructifs et les théorèmes d'existances non-construcitfs. Le théorème de Borsuk Ulam et le théorème du sandwich au jambon sont deux théorèmes d'existances non-constructifs. Ils assurent que quelque chose existe ou est possible mais sans donner plus d'informations... Nous reviendrons dans un prochain article sur la notion de constructivité.


Le résultat sous sa forme originel et la plus générale, a été conjecturé par Hugo Steinhaus puis a été démontré en 1938 par Stefan Banach.

Théorème du sandwich au jambon en dimension n :
On considère n parties Lebesgue-mesurables de mesure finie d'un espace euclidien de dimension n.
Il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales.

Il s'agit d'une conséquence du théorème de Borsuk-Ulam dont l'énoncé est rappellé ci-dessous :

Théorème de Borsuk-Ulam :
Toute application continue de la sphère S^n-1, d'un espace euclidien de dimension n dans un espace euclidien de dimension n - 1 est telle qu'il existe deux points antipodaux ayant même image.