Théorème du sandwich au jambon et le théorème de Borsuk-Ulam

Le théorème du sandwich au jambon est un théorème mathématiques qui peut s'expliquer d'une façon assez amusante. Si on a un sandwich au jambon, avec du jambon et du fromage dedans il est possible de le couper en deux suivant un plan de manière à ce que chaque part ait la même quantité de pain, de jambon et de fromage.

Le théorème est en réalité bien plus général. Une autre façon d'énoncer ce théorème est la suivante :
Si on considère trois objets positionnés n'importe comment dans l'espace (de plus ces objets peuvent êtrre en plusieurs morceaux...), alors il existe un plan qui va couper chacun de ces objets en deux parties de même volume.


Et Borsuk-Ulam alors ?

Il se trouve que le théorème du sandwich au jambon est une conséquence étonnante du théorème de Borsuk-Ulam. Théorème qui énonce notamment que à tout instant sur la terre, il y a deux points se trouvant aux antipodes  (même si ces points peuvent varier) qui ont la même température et la même pression atmosphérique (en supposant que la température et la pression varient de manière continue).

Ci-dessus, on peut observer l'évolution de la température durant l'année 1987. Ce théorème étonnant est seulement un théorème d'existence. A priori ce phénomène peut ne pas être unique et il n'est donné aucune méthode pour déterminer l'emplacement de ces points.

En mathématiques on distingue clairement deux types de théorème d'existances :
Les théorèmes d'existances constructifs et les théorèmes d'existances non-construcitfs. Le théorème de Borsuk Ulam et le théorème du sandwich au jambon sont deux théorèmes d'existances non-constructifs. Ils assurent que quelque chose existe ou est possible mais sans donner plus d'informations... Nous reviendrons dans un prochain article sur la notion de constructivité.


Le résultat sous sa forme originel et la plus générale, a été conjecturé par Hugo Steinhaus puis a été démontré en 1938 par Stefan Banach.

Théorème du sandwich au jambon en dimension n :
On considère n parties Lebesgue-mesurables de mesure finie d'un espace euclidien de dimension n.
Il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales.

Il s'agit d'une conséquence du théorème de Borsuk-Ulam dont l'énoncé est rappellé ci-dessous :

Théorème de Borsuk-Ulam :
Toute application continue de la sphère S^n-1, d'un espace euclidien de dimension n dans un espace euclidien de dimension n - 1 est telle qu'il existe deux points antipodaux ayant même image.

Théorème de la Pizza

On prend une pizza, que l'on symbolisera en mathématiques par un disque.
On effectue ensuite n coupes qui passent toutes par un même point P et telles que l'angle entre deux coupes consécutives soient toujours le même.

Un petit dessin pour bien comprendre :

On partage ensuite la pizza entre deux personnes en alternant les parts.
Question : Qui a le plus de Pizza ?

C'est justement la question au quelle répond le théorème de la Pizza !


Théorème de la Pizza :

• Si le centre de la Pizza est sur une des coupes, alors les deux personnes ont autant de Pizza chacun.
• Sinon : 
• Si n = 1 ou n = 2, alors c'est celui qui a dans ses parts le centre de la Pizza qui en a le plus.
• Si n est pair et supérieur ou égal à 4, alors les deux personnes ont autant de Pizza chacun.
• Si n est impair et n-3 est un multiple de 4, alors c'est celui qui a dans ses parts le centre de la Pizza qui en a le plus.
• Si  n-1 est un multiple de 4, alors c'est celui qui n'a pas dans ses parts le centre de la Pizza qui en a le plus.

Ce théorème dont le résultat est impossible à deviner de prime abord a été démontré en 2009 par deux chercheurs américain Rick Mabry et Paul Deiermann après onze années de recherches.


On trouvera la démonstration de ce théorème de combinatoire ainsi que de théorèmes annexes sur les partages de "calzones", pizza en forme d'hémisphère ou encore sur les couronnes de garnitures, sur l'article original ici.


Et si on en faisait un jeu ?

Un problème similaire qui se présente sous l'aspect d'un jeu a été étudié par des chercheurs de l'université de Prague.
Dans ce jeu une pizza est partagé a été coupé en plusieurs part toujours avec des coupes passant par un même poinr mais on n'exige plus que les angles entre les différentes soient identiques.
Le jeu se joue entre deux joueurs qui doivent alternativement prendre une part de pizza adjacente à ce qui a déjà été mangé (à droite ou à gauche) et le but pour chaque joueur est de manger le plus possible de pizza possible.

A essayer chez vous !


Il a été montré en 2008 que si les deux personnes jouent de façon optimale, celle qui commence obtiendra toujours au moins quatre neuvièmes de la pizza, et qu'il existe une manière de couper la pizza pour qu'elle ne puisse pas en manger davantage.

Pour la démonstration de ce résultat, voir cet article de recherche.