" The sum of the square root of two sides of an isosceles triangle is equal to the square root of the third side. "
" La somme des racines carrés de deux côtés d'un triangle isocèle est égale à la racine carré du troisième côté."Ce magnifique (faux) théorème est tiré du film de 1939, "Le magicien d'Oz" dont un préquel intitulé "Le monde fantastique d'Oz" sort demain en France.
Nous reviendrons dans un prochain article sur la place des mathématiques au cinéma.
Problème :
Imaginons un monde fantastique (celui d'Oz ?) où tout les triangles isocèles vérifient la propriété ci-dessus.
Montrer que dans cet univers les cercles contiennent deux points au maximum.
On se place dans un espace métrique dont la distance vérifie la propriété énoncée par l'épouvantail.
RépondreSupprimerSoit un triangle isocèle. J'affirme que ses trois côtés sont de longueurs nulles.
Pour le prouver, supposons qu'un de ses côtés soit non-nuls : par inégalité triangulaire, l'un des deux autres côtés doit être non-nul également. Donc notre triangle a au moins deux côtés non-nuls : notons les a et b. Notons c le troisième côté (peut-être nul, peut-être pas).
On sait que sqrt(a)+sqrt(b) = sqrt(c).
En mettant cette égalité au carré, on trouve
a+b+2sqrt(ab) = c.
Cependant, par inégalité triangulaire, a+b est supérieur à c, tandis que a et b étant non-nuls, sqrt(ab) est strictement positif.
Par conséquent, a+b+2sqrt(ab) est strictement supérieur à c, ce qui est contradictoire.
Donc les trois côtés de tout triangle isocèle sont nuls, donc il n'y a aucun triangle isocèle, à part ceux dont les trois sommets sont réduits à un point.
Par conséquent, dans un univers où la propriété énoncée par l'épouvantail est vraie, il n'y a qu'un seul point, car s'il y en avait deux (disons B et C), le triangle BBC serait isocèle et aurait un côté non-nul.
Inutile de préciser que dans un tel monde, les cercles n'ont pas beaucoup de points...