Oz

" The sum of the square root of two sides of an isosceles triangle is equal to the square root of the third side. "

" La somme des racines carrés de deux côtés d'un triangle isocèle est égale à la racine carré du troisième côté."

Ce magnifique (faux) théorème est tiré du film de 1939, "Le magicien d'Oz" dont un préquel intitulé "Le monde fantastique d'Oz" sort demain en France.

Nous reviendrons dans un prochain article sur la place des mathématiques au cinéma.

Problème :
Imaginons un monde fantastique (celui d'Oz ?) où tout les triangles isocèles vérifient la propriété ci-dessus.
Montrer que dans cet univers les cercles contiennent deux points au maximum.

Théorème du sandwich au jambon et le théorème de Borsuk-Ulam

Le théorème du sandwich au jambon est un théorème mathématiques qui peut s'expliquer d'une façon assez amusante. Si on a un sandwich au jambon, avec du jambon et du fromage dedans il est possible de le couper en deux suivant un plan de manière à ce que chaque part ait la même quantité de pain, de jambon et de fromage.

Le théorème est en réalité bien plus général. Une autre façon d'énoncer ce théorème est la suivante :
Si on considère trois objets positionnés n'importe comment dans l'espace (de plus ces objets peuvent êtrre en plusieurs morceaux...), alors il existe un plan qui va couper chacun de ces objets en deux parties de même volume.


Et Borsuk-Ulam alors ?

Il se trouve que le théorème du sandwich au jambon est une conséquence étonnante du théorème de Borsuk-Ulam. Théorème qui énonce notamment que à tout instant sur la terre, il y a deux points se trouvant aux antipodes  (même si ces points peuvent varier) qui ont la même température et la même pression atmosphérique (en supposant que la température et la pression varient de manière continue).

Ci-dessus, on peut observer l'évolution de la température durant l'année 1987. Ce théorème étonnant est seulement un théorème d'existence. A priori ce phénomène peut ne pas être unique et il n'est donné aucune méthode pour déterminer l'emplacement de ces points.

En mathématiques on distingue clairement deux types de théorème d'existances :
Les théorèmes d'existances constructifs et les théorèmes d'existances non-construcitfs. Le théorème de Borsuk Ulam et le théorème du sandwich au jambon sont deux théorèmes d'existances non-constructifs. Ils assurent que quelque chose existe ou est possible mais sans donner plus d'informations... Nous reviendrons dans un prochain article sur la notion de constructivité.


Le résultat sous sa forme originel et la plus générale, a été conjecturé par Hugo Steinhaus puis a été démontré en 1938 par Stefan Banach.

Théorème du sandwich au jambon en dimension n :
On considère n parties Lebesgue-mesurables de mesure finie d'un espace euclidien de dimension n.
Il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales.

Il s'agit d'une conséquence du théorème de Borsuk-Ulam dont l'énoncé est rappellé ci-dessous :

Théorème de Borsuk-Ulam :
Toute application continue de la sphère S^n-1, d'un espace euclidien de dimension n dans un espace euclidien de dimension n - 1 est telle qu'il existe deux points antipodaux ayant même image.

Le rap de 2 Pi (prononcer : twoupaï !)

Jake Scott, professeur de math à Montgomery Blair High School à Silver Spring, MD a eu une idée lumineuse pour que ses élèves retiennent ses cours ! Son idée ? Le rap !
 "Scott makes learning math cool, while also developing a connection with his students"

C'est ainsi que Jack Scott s'est transformé en son alter ego 2 Pi et nous offre trois vidéos remarquables sur le théorème de pythagore. les expressions indéfinis et les équations du second degré !








You can't divide by zero. 
You can't divide by zero. 
It's undefined because you can't divide by zero.

Lyrics :

Have a seat folks. This class is in session.
Mr. 2 Pi can you tell me the objective of this lesson?
Students will be able to solve quadratic equations
using the Quadratic Formula and some simple calculations.
What's the Quadratic Formula?
Yeah, we'll get to that
 but first remove those shades and that baseball cap.
The Quadratic Formula is the tool you use
 when those prime quadratics have you singing the blues
 First write your quadratic in standard form. Please, be thorough.
A x squared plus b x plus c equals zero.
Now we're gon' solve for x using our abc's so get thos pencils in your hands and roll with me.

You take the square root of b squared minus 4ac,
then you add it and subtract it from the opposite of b.
Take the values you get, divide them by 2 a...



Ceci n'est  pas sans rappeler la reprise d'Adèle : "Rolling in the deep" par deux lycéennes américaines :

Le problème des fourmis

Sur une tige (que l'on assimilera à un segment) se trouvent plusieurs fourmis (que l'on assimilera à des points). - Les fourmis se déplacent à vitesse constante.
 - Il faut une minute à une fourmi pour aller d'un bout à l'autre de la tige.
 - Lorsque deux fourmis se croisent, elles changent de sens.
 - A chaque fois qu'une fourmi arrive à l'extrémité de la tige, elle tombe.

1 ) Dans le pire des cas, combien de temps faut-il attendre pour que toutes les fourmis tombent de la tige ?
2 ) Même question avec des fourmis se déplaçant à des vitesses constantes mais différentes...

Chessboxing

Le premier combat de Chessboxing a eu lieu vendredi 1er février 2013 à Paris. C'est le premier du genre en France. Dans ce sports étrange, les compétiteurs alternent entre rounds de boxe anglaise et parties d'échecs jusqu'à ce que l'un des joueurs soit K.O. ou échec et mat.






Le Chessboxing a été inventé par Enki Bilal dans sa BD Froid Equateur en 1992. Plus de 10 ans plus tard, en 2003, le néerlandais Iepe Rubingh décide de le faire sortir de sa bulle et crée le premier championnat de Chessboxing. Aujourd'hui il y a une quarantaine de championnats dans le monde.

Théorème de la Pizza

On prend une pizza, que l'on symbolisera en mathématiques par un disque.
On effectue ensuite n coupes qui passent toutes par un même point P et telles que l'angle entre deux coupes consécutives soient toujours le même.

Un petit dessin pour bien comprendre :

On partage ensuite la pizza entre deux personnes en alternant les parts.
Question : Qui a le plus de Pizza ?

C'est justement la question au quelle répond le théorème de la Pizza !


Théorème de la Pizza :

• Si le centre de la Pizza est sur une des coupes, alors les deux personnes ont autant de Pizza chacun.
• Sinon : 
• Si n = 1 ou n = 2, alors c'est celui qui a dans ses parts le centre de la Pizza qui en a le plus.
• Si n est pair et supérieur ou égal à 4, alors les deux personnes ont autant de Pizza chacun.
• Si n est impair et n-3 est un multiple de 4, alors c'est celui qui a dans ses parts le centre de la Pizza qui en a le plus.
• Si  n-1 est un multiple de 4, alors c'est celui qui n'a pas dans ses parts le centre de la Pizza qui en a le plus.

Ce théorème dont le résultat est impossible à deviner de prime abord a été démontré en 2009 par deux chercheurs américain Rick Mabry et Paul Deiermann après onze années de recherches.


On trouvera la démonstration de ce théorème de combinatoire ainsi que de théorèmes annexes sur les partages de "calzones", pizza en forme d'hémisphère ou encore sur les couronnes de garnitures, sur l'article original ici.


Et si on en faisait un jeu ?

Un problème similaire qui se présente sous l'aspect d'un jeu a été étudié par des chercheurs de l'université de Prague.
Dans ce jeu une pizza est partagé a été coupé en plusieurs part toujours avec des coupes passant par un même poinr mais on n'exige plus que les angles entre les différentes soient identiques.
Le jeu se joue entre deux joueurs qui doivent alternativement prendre une part de pizza adjacente à ce qui a déjà été mangé (à droite ou à gauche) et le but pour chaque joueur est de manger le plus possible de pizza possible.

A essayer chez vous !


Il a été montré en 2008 que si les deux personnes jouent de façon optimale, celle qui commence obtiendra toujours au moins quatre neuvièmes de la pizza, et qu'il existe une manière de couper la pizza pour qu'elle ne puisse pas en manger davantage.

Pour la démonstration de ce résultat, voir cet article de recherche.

Pierre - Feuille - Ciseaux

Le Shifoumi ou Pierre-feuille-ciseaux (PFC) est un des jeux les plus rudimentaires qui soient.
Chaque joueur a trois possibilités : Pierre, feuille et ciseaux

Les règles du jeu sont simples :

• la pierre bat les ciseaux (en les émoussant)
•  les ciseaux battent la feuille (en la coupant)
• la feuille bat la pierre (en l’enveloppant). 

Ainsi chaque coup bat un autre coup, fait match nul contre le deuxième (son homologue) et est battu par le troisième. Autrement dit nous avons à faire un jeu de hasard parfaitement équilibré dont aucun des coups n'est plus fort qu'un autre.

Toutefois des chercheurs ont réussi à mettre au point un ordinateur contre lequel tout être humain fini par perdre s'il joue suffisamment longtemps. En effet il est impossible pour un être humain de jouer ces trois coups totalement au hasard. Une tendance pour l'un de ces coups ou un schéma conscient ou non se met forcément en place. L'ordinateur est programmé pour reconnaitre ces schémas et ainsi peut déterminer quelles coups jouer pour gagner.

Des études ont en effet montré qu'en moyenne les gens jouaient : Feuille à 29,6% - Pierre à 35,4% - Ciseaux à 35%. De plus les hommes ont tendance à jouer Pierre pour le premier coup. 


Bien passons à la seconde étape..
Vous avez peut-être entendu parler des variantes de ce jeu ? Notamment le : Pierre, Feuille, Ciseaux, Lézard, Spock (PFCLS) ? Non ? Alors sans plus attendre regardez cet extrait de The Big Bang Theory (VO) où Sheldon explique les règles de ce Shifoumi amélioré.

A nouveau, dans cette variante, chaque coup est équivalent aux autres, il permet de gagner avec probabilité 2/5, de perdre avec probabilité 2/5 et de faire match nul avec probabilité 1/5.

Nous touchons ici à la théorie des graphes orientés. Ci contre, on observe le graphe complet K5. Si on veut construire des graphes similaires avec une probabilité égal de gagner ou de perdre pour chaque symbole, il faut donc utiliser des graphes complets avec un nombre impair de sommet. C'est à dire un graphe à 2k+1 sommets et 2 k² + k arêtes. (k=1 pour le PFC et k=2 pour le PFCLS)


Un autre exemple de généralisation : Le pierre-pistolet-éclair-diable-dragon-eau-air-papier-éponge-loup-arbre-humain-serpent-ciseaux-feu.
Ce graphe correspond à k=7.